\section{应力波反射法检测基桩原理}
1865年B.deSaintVenant提出一维波动方程动力打桩公式。
1950年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值解法，它把锤-桩-土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型，从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。

1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文，1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”。
1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程。
1977年PDI公司开始生产以PDA(PileDrivingAnalyzer)打桩分析仪。
采用波动方程程序(CasePileWave-equationAnalysisprogram/continuous,简称CAPWAPC)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷进行实测波形的拟合法分析。方便、快捷、一定的准确度被各国接受。要求较高的人员素质、专业理论知识、丰富的工程经验。缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
\section{一维杆的纵向波动方程}
\subsection{一维波动方程}
一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，体密度为$\rho$。若杆变形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻力、阻尼力的作用。
\begin{figure}
	\caption{一维杆件波动方程\label{pilewave}}
	\includegraphics[scale=0.3]{pilewave}
\end{figure}
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得

\begin{equation}
	\label{shvdynamics10}
	\sigma_xA-(\sigma_x+\frac{\partial\sigma_x}{\partialx}dx)A=-\rhoAdx\frac{\partial^2u}{\partialt^2}
\end{equation}

由材料力学知识得：

\begin{equation}
	\label{shvdynamics11}
	\sigma_x=E\frac{\partialu}{\partialx},\frac{\partial\sigma_x}{\partialx}=E\frac{\partial^2u}{\partialx^2}
\end{equation}

式\ref{shvdynamics11}代入式\ref{shvdynamics10}得到
\begin{equation}
	\label{shvdynamics12}
	\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}
\end{equation}

令$c^2=\frac{E}{\rho}$，得到一维波动方程
\begin{equation}
	\label{shvdynamics13}
	\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=c^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}
\end{equation}
\subsection{一维波动方程的解}
一维波动方程最早由弦振动问题导出，弦振动问题吸引了18世纪一批杰出数学家的注意\cite{feihejin}。1713年布鲁克·泰勒(BrookTaylor，1685年8月18日-1731年11月30日)研究过拉紧弦的运动，他的出发点是一个实质与方程\ref{shvdynamics13}等价的命题。他的结论是：如果弦整个振动，则它每时刻是正弦曲线。

1746年达朗贝尔(D'Alembert,1717.11.17-1783.10.29，法国数学家，哲学家。又译达朗伯)和1747年莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler，1707年4月15日-1783年9月18日)先后明确地列出方程\ref{shvdynamics13}，并且写出了下面的通解：
\begin{equation}
	\label{shvdynamics14}
	u=\phi(x+at)+\psi(x-at)
\end{equation}

1753年丹尼尔.伯努利(1700-1782,是JohannBernoulli的儿子并且是欧拉的朋友)发表了同一题目的论著。伯努利注意到弦振动形式之繁多是泰勒已经知道的，根据物理观察提出了这个论断：所有这些振动同时实现，因而弦同时发出各种高度的音。如此弦振动可描述为
\begin{equation}
	\label{shvdynamics15}
	u=\sum_{n=1}^{\infty}b_ncos\frac{n\pia}{l}tsin\frac{n\pi}{l}x
\end{equation}

正是因为上式符合物理实验而且频率丰富，迫使伯努利取\ref{shvdynamics15}而不取\ref{shvdynamics14}作为波动方程\ref{shvdynamics13}的解。应该说，欧拉自己也提到解\ref{shvdynamics15}，但只作为可能的特解。可以证明，式\ref{shvdynamics15}在适当的系数选择之下，与式\ref{shvdynamics14}完全等同。

伯努利完全坚信自己找到的解\ref{shvdynamics15}，但受到达朗伯和欧拉的一致反对。尽管达朗伯和欧拉都相信自己找到的同一个解\ref{shvdynamics14}，但对该解是否应该为连续函数发生了分歧。

后来一般称式\ref{shvdynamics14}为行波解，称式\ref{shvdynamics15}为驻波解。

19世纪末根据式\ref{shvdynamics14}提出了特征线法(methodofcharacteristics,MOC)用于近似求解波动方程(双曲型偏微分方程组)。电子计算机出现以后，特征线法又得到了进一步的发展，在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛应用。
